المرحلة ١ من ٦

عزم القصور: لماذا العمق أهم؟

رقم واحد يقيس قوة شكل المقطع: «عزم القصور». به نعرف لماذا العمق أهم من العرض، وأين تتشقّق شريحتنا.

نحو ٣٣٫٥ دقيقة.

خريطة اليوم

١لوح على جنبهاللوح نفسه ينحني أقل ١٦ مرة حين نقيمه على جنبه.
↓
٢الإجهاد في أي ليفالعزم × البعد ÷ عزم القصور.
↓
٣الطبقات البعيدة تعدّ أكثركل طبقة: مساحتها × مربّع بعدها.
↓
٤ضاعِف العمقعزم القصور × ٨، والإجهاد ÷ ٤. ثم في إكسل.
↓
٥شريحتنا والكود٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ ملم⁴، وعزم التشقق ١٠٫٢٣: وسط الشريحة متشقّق.
المرحلة ١ من ٦لوح على جنبه

الخشب نفسه، فلماذا ينزل أقل ١٦ مرة؟

نحو ٢٫٥ دقيقة
على وجههعلى جنبه: أصلب ١٦ مرة

تعمّق توقّع قبل أن ترى نحو ٢٠ ثانية

توقّع: اللوح على جنبه، والوزن نفسه. ينزل أقل كم مرة؟

تعمّق تذكّر من قبل، وقصة النجّار نحو ٣٠ ثانية

في درس مركز المقطع: مركز مقطع شريحتنا على ٧٠ ملم من الأسفل، ومنه يمرّ المحور السليم.

في الدرس السابق: المقاطع المستوية تبقى مستوية، فيكبر الإجهاد بخطّ مستقيم من صفر عند المحور السليم. ضغط فوق، وشدّ تحت، وأكبره في الوجهين.

σmax = 6 M / (b h²)
= 6.12 MPa

ماذا سنفعل، ولماذا؟

به نفهم لماذا نجعل الجوائز عميقة، ونحسب الهبوط بعد درسين. والكود يحسب به العزم الذي تبدأ عنده الشقوق.

جارنا النجّار يمشي على لوح خشب، فيقيمه على جنبه، لا على وجهه العريض. الخشب نفسه! فلماذا؟

لوح على وجهه، ولوح على جنبه

خذ لوح خشب: عرضه ٢٠٠ ملم، وسماكته ٥٠ ملم. ضعه على مسندين، وضع في وسطه وزنًا.

ثم أقمه على جنبه، والوزن نفسه. كم مرة ينزل أقل: مرّتين، أم أربعًا، أم أكثر؟

الوزن نفسهالنزولعلى وجههالمحور السليممقطع اللوح: على وجهه، ٢٠٠ × ٥٠

في الأسفل: مقطع اللوح يدور. المتقطّع: المحور السليم. السهم الأزرق: النزول.

تغيّر شيء واحد: أين يقع الخشب حول المحور السليم. على جنبه يبتعد أكثره عنه.

تعمّق الإجهاد الأكبر، وجرّب بمسطرة نحو ٢٠ ثانية

والإجهاد الأكبر؟ من علاقة الدرس السابق:

flat: b h² = 200 × 50²
= 500 000
on edge: b h² = 50 × 200²
= 2 000 000 = 4 × 500 000

المقام × ٤، فالإجهاد الأكبر ربع ما كان. والنزول ÷ ١٦: رقم يشرحه درس اليوم.

  1. خذ مسطرة بلاستيك، وضع طرفيها على كتابين.
  2. اضغط وسطها بإصبعك وهي على وجهها العريض: تنزل بسهولة.
  3. أقمها على جنبها، واضغط بالقوة نفسها: لا تكاد تنزل.

المهمّ ليس كمية المادة، بل أين تقع: قريبة من المحور السليم، أم بعيدة عنه.

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

لماذا يقيم النجّار اللوح على جنبه ليمشي عليه؟

تعمّق خطأ شائع نحو ٥ ثانية

خطأ شائع

خطأ: نعدّ كمية المادة فقط.

صحيح: نسأل: أين تقع المادة من المحور؟

اختبر المرحلة ١

اللوح ٢٠٠ × ٥٠ على جنبه. الإجهاد الأكبر تحت الوزن نفسه يصير:

المرحلة ٢ من ٦الإجهاد في أي ليف

علاقة واحدة لكل ليف، ورقم اسمه عزم القصور.

نحو ٥٫٥ دقيقة
المقطعضغط فوق، شدّ تحت

تعمّق تذكّر سريع من المرحلة السابقة نحو ٢٠ ثانية

تعمّق توقّع قبل أن ترى نحو ٢٠ ثانية

توقّع: ليف في منتصف الطريق إلى الوجه الأعلى. إجهاده؟

الإجهاد في أي ليف

ليف في منتصف الطريق بين المحور السليم والوجه الأعلى، على بعد ٣٥ ملم. كم إجهاده؟

المحور السليم٣٫٠٦٦٫١٢ ضغط٦٫١٢ شدّ٣٥٧٠المقطع

الإجهاد بالميغاباسكال، والأبعاد بالملّيمتر.

تعمّق الجدول، والاشتقاق خطوة خطوة نحو دقيقة واحدة

الخطوةالقيمةالوحدة
أكبر إجهاد، في الليف الأعلى (الدرس السابق)٦٫١٢ميغاباسكال
بعد الليف الأعلى عن المحور السليم: نصف السماكة٧٠ملم
بعد ليفنا عن المحور السليم٣٥ملم
النسبة: بعد ليفنا ÷ نصف السماكة؟—
إجهاد ليفنا = النسبة × أكبر إجهاد؟ميغاباسكال

من الخطّ المستقيم إلى علاقة واحدة

قاعدتان من الدرس السابق في علاقة واحدة، تصلح لأي ليف.

الوحداتحساب نحتاجه
حساب نحتاجه

القسمة على نصف = الضرب في ٢. مثل: ٦ ÷ ½ = ١٢.

والسماكة تربيع × السماكة = السماكة تكعيب، كما في درس الحجم: ٢ × ٢ × ٢ = ٨.

h² × h = h³

الخطّ المستقيم: إجهاد الليف = أكبر إجهاد × (بعده عن المحور السليم ÷ نصف السماكة).

σ = σmax · y / (h/2)

ومن الدرس السابق: أكبر إجهاد، من المزدوجة.

σmax = 6 M / (b h²)

نضع الثانية مكان أكبر إجهاد في الأولى.

σ = [6 M / (b h²)] · y / (h/2)

القسمة على نصف السماكة = الضرب في ٢، ثم القسمة على السماكة.

σ = [6 M / (b h²)] · 2 y / h

نضرب: ٦ × ٢ = ١٢، والسماكة تربيع × السماكة = السماكة تكعيب.

σ = 12 M y / (b h³)

ننقل ١٢ إلى المقام: الضرب في ١٢ هو القسمة على جزء من اثني عشر. مثل: ١٢ ÷ ٤ = ١ ÷ (٤ ÷ ١٢) = ٣.

σ = M y / (b h³ / 12)

المقام لا يعرف إلا شكل المقطع: عرضه وسماكته. نعطيه حرفًا واحدًا.

I = b h³ / 12 ⟹ σ = M y / I
عزم القصور الذاتي

رقم يقيس كيف تتوزّع مادة المقطع حول المحور السليم: كلما ابتعدت المادة كبر. يسمّيه الكود «عزم العطالة (القصور الذاتي)»، ونقول اختصارًا: «عزم القصور».

تعمّق في الكود: الصفحة ٣٤ نحو ٢٠ ثانية

سطر من جدول الرموز في الكود: عزم العطالة (القصور الذاتي)، رمزه آي، وبالإنجليزية مومنت أوف إنرشيا
الكود العربي السوري، الرموز (3-2)، الصفحة ٣٤: «عزم العطالة (القصور الذاتي)»، ورمزه I. الصفحة كاملة

الإجهاد في أي ليف، من الرسم

المحور السليمصفرالمقطعhالسماكة كلهاyمن المحورσضغطσشدّM/Iميل الخطّ

  1. بُعد الليف عن المحور: واي.
  2. إجهاده: سيغما. فوق المحور ضغط، وتحته شدّ.
  3. وميل الخطّ: العزم ÷ عزم القصور.
  4. إجهاد الليف = ميل الخطّ × بُعده عن المحور.
  5. فوق الخطّ: العزم الذي يدفع، وبُعد الليف. تحت الخطّ: عزم القصور الذي يقاوم.
σ=MI·y
σ=M·yI

إجهاد الليف = العزم × بُعده ÷ عزم القصور

فوق: مَن يدفع، وأين.تحت: مَن يقاوم.

تعمّق الرموز والوحدات نحو ١٠ ثانية

كيف تُقرأ الحروف؟σ، M، y، I(٤)

تُقرأ: سيغما تساوي إم ضرب واي على آي

  • σ «سيغما»: إجهاد الليف
  • M «إم»: العزم
  • y «واي»: بُعد الليف عن المحور
  • I «آي»: عزم القصور

عزم القصور لمقطع مستطيل

I = b · h³ / 12

تُقرأ: آي تساوي بي ضرب إتش تكعيب على اثني عشر

تعمّق الرموز والوحدات نحو ٢٥ ثانية

معاني الرموزσ، M، y، I، …(٧)
σالإجهاد في الليف، بالميغاباسكال: ضغط فوق المحور السليم، وشدّ تحتهسيغما Mعزم الانعطاف عند المقطع، بالنيوتن·ملمإم yبعد الليف عن المحور السليم، بالملّيمترواي Iعزم القصور الذاتي للمقطع، بالملّيمتر أس أربعةآي bعرض المقطع، بالملّيمتربي h³السماكة تكعيب: السماكة × السماكة × السماكةإتش تكعيب 12من ٦ × ٢: من المزدوجة والخطّ المستقيم، لا من الكوداثنا عشر

تعمّق الرموز والوحدات نحو ٢٠ ثانية

الوحداتوحدة جديدة: ملم⁴ (ملّيمتر أس أربعة)
وحدة جديدة: ملم⁴ (ملّيمتر أس أربعة)

العرض بالملّيمتر، والسماكة تكعيب بالملّيمتر المكعّب. فعزم القصور بالملّيمتر أس أربعة.

mm × mm³ = mm⁴

ليس مساحة ولا حجمًا: هو مساحة × مربّع بعد. لذلك أرقامه كبيرة جدًّا بالملّيمتر.

والعزم بالنيوتن·ملم، فيخرج الإجهاد بالميغاباسكال:

1 kN·m = 1000 N × 1000 mm
= 106 N·mm
N·mm × mm / mm⁴
= N/mm² = MPa

الإجهاد يكبر مع العزم ومع البعد عن المحور السليم، ويصغر كلما كبر عزم القصور.

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

أين يكون الإجهاد صفرًا؟

تعمّق خطأ شائع نحو ٥ ثانية

خطأ شائع

خطأ: الإجهاد واحد في المقطع كله.

صحيح: صفر على المحور، وأكبره في الوجهين.

اختبر المرحلة ٢

ليف على بعد ١٤ ملم فوق المحور السليم في شريحتنا. إجهاده:

تعمّق سؤال آخر نحو ٢٠ ثانية

كبر عزم القصور، والعزم كما هو. إجهاد الليف نفسه:

المرحلة ٣ من ٦الطبقات البعيدة تعدّ أكثر

لماذا السماكة مكعّبة؟

نحو ٣٫٥ دقيقة
كلما ابتعدت الطبقة عدّت أكثر

تعمّق تذكّر سريع من المرحلة السابقة نحو ٢٠ ثانية

الطبقات البعيدة تعدّ أكثر

لماذا السماكة مكعّبة في العلاقة؟ نقسم المقطع طبقات رقيقة، ونسأل كل طبقة: كم تحمل من العزم؟

الطبقة البعيدة تفوز مرّتين: إجهادها أكبر، وذراعها إلى المحور السليم أطول.

تعمّق الاشتقاق: لماذا مربّع البعد؟ نحو ٣٠ ثانية

طبقة رقيقة على بعد ما من المحور السليم: إجهادها من علاقتنا.

σ = M · y / I

قوّتها = إجهادها × مساحتها.

F = σ · A = (M / I) · y · A

عزمها حول المحور السليم = قوّتها × ذراعها، وذراعها بعدها نفسه. فيظهر البعد مرّتين.

F · y = (M / I) · A · y²

كل الطبقات معًا تحمل العزم كله. فوق ضغط وتحت شدّ، وكلها تدير في الاتجاه نفسه، فنجمع (المجموع من درس المحصّلة).

M = (M / I) · Σ A · y²

نقسم الطرفين على العزم، ونضرب في عزم القصور.

I = Σ A · y²

تُقرأ: آي تساوي مجموع إيه ضرب واي تربيع

قسّمنا شريحتنا سبع طبقات، كل طبقة ٢٠ ملم. أي طبقة تعطي أكثر: الوسطى، أم الأبعد؟

كل طبقة: مساحتها × مربّع بعدها٦٠٤٠٢٠٠٢٠٤٠٦٠البعد

تعمّق الطبقات بالأرقام نحو ٢٠ ثانية

الخطوةالقيمةالوحدة
مساحة كل طبقة = ١٠٠٠ × ٢٠٢٠٬٠٠٠ملم²
بعد الطبقتين الأبعد٦٠ملم
المساحة × البعد² لكل منهما؟ملم⁴
بعد الطبقتين التاليتين٤٠ملم
المساحة × البعد² لكل منهما؟ملم⁴
بعد الطبقتين القريبتين٢٠ملم
المساحة × البعد² لكل منهما؟ملم⁴
الطبقة الوسطى: بعدها صفر٠ملم⁴
المجموع: كل طبقة مرّتان، فوق وتحت؟ملم⁴

٢٢٤ مليونًا، والعلاقة تعطي ٢٢٨٫٧ مليونًا: الفرق ٢٪ فقط، لأن كل طبقة سميكة قليلًا.

تعمّق جرّب بنفسك: طبقات أرقّ نحو ٤٠ ثانية

جرّب بنفسك: طبقات أرقّ

توقّع: ٧٠ طبقة بدل ٧. المجموع؟

عدد الطبقات:
كل طبقة: ٢٠ ملم

المنحنى المنقّط: مربّع البعد.

العلاقة = مجموع طبقات رقيقة جدًّا، لا تُحصى.

عزم القصور = مجموع (مساحة كل طبقة × مربّع بعدها). في شريحتنا تعطي الطبقتان الأبعد وحدهما نحو ثلثي المجموع.

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

طبقة على بعد ٦٠ ملم، وطبقة مثلها على بعد ٢٠ ملم. كم مرة تعطي الأولى أكثر؟

تعمّق خطأ شائع نحو ٥ ثانية

خطأ شائع

خطأ: الطبقة تعدّ بقدر بعدها.

صحيح: تعدّ بقدر مربّع بعدها.

اختبر المرحلة ٣

طبقة على بعد ٤٠ ملم، ومثلها على بعد ٢٠ ملم. الأولى تعطي:

تعمّق سؤال آخر نحو ٢٠ ثانية

قسّمنا المقطع ١٤ طبقة بدل ٧. المجموع:

المرحلة ٤ من ٦ضاعِف العمق

عزم القصور × ٨، ثم نتحقّق في إكسل.

نحو ٧ دقائق
١٤٠ ملم٢٨٠ ملم: عزم القصور × ٨

تعمّق تذكّر سريع من المرحلة السابقة نحو ٢٠ ثانية

ضاعِف العمق: عزم القصور × ٨

ضاعفنا سماكة شريحتنا من ١٤٠ إلى ٢٨٠ ملم، والعرض كما هو. عزم القصور يصير: ضعفين، أم أربعة، أم ثمانية؟

١٤٠السماكة ١٤٠ ملم: عزم القصور × ١

الإطار المتقطّع: المقطع الأول، ١٤٠ ملم.

(2 h)³ = 2 × 2 × 2 × h³
= 8 h³ ⟹ I × 8

تعمّق الإجهاد، وجرّب بنفسك: حرّك السماكة نحو ٥٠ ثانية

والإجهاد الأكبر؟ البعد × ٢، وعزم القصور × ٨:

σmax = M · (h/2) / I
→ × 2 ÷ 8 = ÷ 4

جرّب بنفسك: حرّك السماكة

توقّع: ضاعفنا السماكة إلى ٢٨٠. النزول تحت الحمل نفسه؟

السماكة:
٠١٠٠٠٢٠٠٠٠١٠٠٢٠٠٣٠٠السماكة (ملم)عزم القصور (مليون ملم⁴)٢٢٨٫٧ مليون
الحمل نفسه، والمجاز نفسهالنزول: شريحتنا

العرض ١٠٠٠ ملم والعزم ٢٠ كيلونيوتن·م في كل الحالات.

واللوح؟ العمق × ٤ (× ٦٤ بالتكعيب)، والعرض ÷ ٤. النتيجة ١٦ بالضبط:

(50 × 200³) / (200 × 50³)
= 400 000 000 / 25 000 000
= 16

عزم القصور يكبر مع مكعّب العمق، ومع العرض مرّة واحدة. ضاعِف العمق: عزم القصور × ٨، والإجهاد ÷ ٤. لذلك نجعل الجوائز عميقة، لا عريضة.

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

ضاعفنا عرض المقطع، وتركنا سماكته كما هي. عزم القصور يصير:

تعمّق في إكسل: الفيديو وورقة الحساب نحو ٤ دقائق

باليد = إكسل: خمس سماكات

نبني الحساب في إكسل، في ورقة عزم القصور (inertia) من ملف المحطة السابعة.

في الخلايا الصفراء: العرض ١٠٠٠ ملم، والسماكة ١٤٠ ملم، والعزم ٢٠ كيلونيوتن·م.

⬇ نزّل ملف إكسل المحطة السابعة (SanadHouse_Station7.xlsx) = حسابات بيت سَنَد - المحطة ٧.

⟳ أدِر الهاتف لمشاهدة الفيديو، أو اضغط «⛶ ملء الشاشة».

المعادلتان في هذا الفيديو
I = b · h312

عزم القصور = العرض × السماكة أس ٣ ÷ ١٢

σ = M · h/2I

الإجهاد في الوجه = العزم × نصف السماكة ÷ عزم القصور (العزم بالنيوتن·ملم)

b = 1000 mm · h = 140 mm · M = 20 kN·m
الرسم: مقطع شريحتناالمحور السليمb = 1000 mmh = 140
  1. ورقة عزم القصور، ورسم مقطع شريحتنا بجانبها
  2. B3 عرض الشريحة: ١٠٠٠ ملم (b في الرسم)
  3. B4 السماكة: ١٤٠ ملم (h في الرسم)
  4. B5 العزم في المنتصف: ٢٠ كيلونيوتن·م
  5. ما سنفعله: عزم القصور في B6 = العرض × السماكة أس ٣ ÷ ١٢
  6. اضغط B6، واكتب =
  7. اضغط B3 (العرض)، واكتب *
  8. اضغط B4 (السماكة)، واكتب ^3
  9. اكتب /12، ثم Enter
  10. عزم القصور نحو ٢٢٩ مليون ملم⁴، والصيغة =B3*B4^3/12
  11. ما سنفعله: الإجهاد في B7 = العزم × مليون × نصف السماكة ÷ عزم القصور
  12. اضغط B7، واكتب =، ثم اضغط B5 (العزم)، واكتب *1000000*
  13. اضغط B4، واكتب /2/، ثم اضغط B6، ثم Enter
  14. الإجهاد ٦٫١٢ ميغاباسكال، والصيغة =B5*1000000*B4/2/B6
  15. ماذا لو ضاعفنا السماكة؟ من ١٤٠ إلى ٢٨٠ ملم، والعرض والعزم كما هما. قبل: ٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ و٦٫١٢
  16. اضغط B4، واكتب 280، ثم Enter: المقطع في الرسم يصير ضعفين
  17. بعد: عزم القصور ١٬٨٢٩٬٣٣٣٬٣٣٣ = ٨ أضعاف، لأن السماكة أس ٣
  18. بعد: الإجهاد ١٫٥٣ = ٦٫١٢ ÷ ٤
  19. نعيد السماكة: B4 = 140
تسجيل حقيقي لإكسل، بطيء، نحو ثلاث دقائق. اضغط أي خطوة لتقفز إليها.

صيغة عزم القصور =B3*B4^3/12، وصيغة الإجهاد =B5*1000000*B4/2/B6.

الضرب في مليون يحوّل الكيلونيوتن·م إلى نيوتن·ملم. والقسمة على ٢ تعطي بعد الوجه عن المحور السليم: نصف السماكة.

السماكة (ملم)عزم القصور (ملم⁴)الإجهاد الأكبر (ميغاباسكال)عزم القصور ÷ عزم قصور شريحتنا

خمس سماكات بالعلاقتين نفسيهما. السطر الملوّن: شريحتنا.

باليد = إكسل: ١٤٠ ملم تعطي ٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ ملم⁴ و٦٫١٢ ميغاباسكال. احفظ ملفك؛ سيكبر معك.

ورقة الحساب: أرقامك أنت

لماذا في صيغة الإجهاد ضرب في ١٬٠٠٠٬٠٠٠؟

تعمّق خطأ شائع نحو ٥ ثانية

خطأ شائع

خطأ: نعرّض المقطع لنقوّيه: × ٢ فقط.

صحيح: نعمّقه: × ٨.

اختبر المرحلة ٤

سماكة ٧٠ ملم بدل ١٤٠، والعرض كما هو. عزم القصور:

تعمّق سؤال آخر نحو ٢٠ ثانية

سماكة ٢٨٠ بدل ١٤٠، والعزم ٢٠. الإجهاد الأكبر:

المرحلة ٥ من ٦شريحتنا والكود

عزم قصور شريحتنا، وأين تتشقّق؟

نحو ٨ دقائق
وسط الشريحة متشقّق، والفولاذ يحمل الشدّ

تعمّق تذكّر سريع من المرحلة السابقة نحو ٢٠ ثانية

تعمّق توقّع قبل أن ترى نحو ٢٠ ثانية

توقّع: نزيد الحمل. أين يبدأ أول شقّ؟

شريحتنا: عزم قصورها وإجهاد كل ليف

تعمّق أرقام شريحتنا، والإجهاد في كل طبقة نحو ٥٠ ثانية

أرقام شريحتنا في العلاقتين:

الخطوةالقيمةالوحدة
العرض١٠٠٠ملم
السماكة١٤٠ملم
السماكة تكعيب: ١٤٠ × ١٤٠ × ١٤٠؟ملم³
العرض × السماكة تكعيب؟ملم⁴
عزم القصور = ÷ ١٢؟ملم⁴
العزم = ٢٠ × مليون٢٠٬٠٠٠٬٠٠٠نيوتن·ملم
الإجهاد على بعد ٣٥ ملم؟ميغاباسكال
الإجهاد في الوجه، على بعد ٧٠ ملم؟ميغاباسكال
I = 1000 × 140³ / 12
= 228 666 667 mm⁴ ≈ 2.2867 × 108 mm⁴
σ(35) = 20 000 000 × 35 / 228 666 667
= 3.06 MPa
σ(70) = 20 000 000 × 70 / 228 666 667
= 6.12 MPa ✓
٦٫١٢٧٠٣٫٠٦٣٥٠٠٣٫٠٦٣٥٦٫١٢٧٠الإجهادالبعدفوق المحور: ضغطتحت المحور: شدّ١٠٠٠ ملمالمحور السليم: الخط المتقطّعالسماكة مرسومة أكبر ٣ مرات

٦٫١٢ في الوجهين: الرقم نفسه من المزدوجة في الدرس السابق. طريقان، ورقم واحد.

تعمّق معاير القطاع نحو ٣٥ ثانية

معاير القطاع

عزم القصور ÷ بعد الليف الأبعد. به نجد أكبر إجهاد بقسمة واحدة: العزم ÷ معاير القطاع.

سطر من جدول الرموز في الكود: معاير القطاع (المقطع)، رمزه زد الكبيرة
الكود العربي السوري، الرموز (3-2)، الصفحة ٣٥: «معاير القطاع (المقطع)»، ورمزه Z الكبيرة. الصفحة كاملة
Z = I / (h/2) = 228 666 667 / 70
= 3 266 667 mm³
σmax = M / Z = 20 000 000 / 3 266 667
= 6.12 MPa

تُقرأ: زد الكبيرة تساوي آي على إتش على اثنين

لا تخلط معاير القطاع (الحرف الكبير، بالملّيمتر المكعّب) بذراع المزدوجة من الدرس السابق (الحرف الصغير، ٩٣٫٣ ملم). شيئان مختلفان.

شريحتنا: عزم القصور ٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ ملم⁴. الإجهاد ٣٫٠٦ ميغاباسكال على بعد ٣٥ ملم، و٦٫١٢ في الوجهين.

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

ليف على بعد ٣٥ ملم تحت المحور السليم. ما إجهاده؟

الكود يستعمل عزم القصور: متى تتشقّق شريحتنا؟

في الدرس السابق قدّرنا: الشدّ ٦٫١٢ في الوجه الأسفل أكبر من مقاومة الخرسانة للشدّ، ٢٫٠، فالأسفل يتشقّق.

الكود يعطي للشدّ في الانعطاف رقمًا خاصًّا، ويحسب به أقل عزم يبدأ عنده الشقّ.

تعمّق صفحتا الكود: عزم التشقق نحو ١٫٥ دقيقة

من الكود: إم سي آر أقل عزم انعطاف يُسبّب التشقق في الخرسانة، ويؤخذ من المعادلة إم سي آر = إف سي بي ضرب آي جي على واي تي. حيث إف سي بي إجهاد الشدّ الأقصى للخرسانة عند الانعطاف، ويؤخذ من المعادلة إف سي بي = ٠٫٧ جذر إف سي شرطة. وواي تي المسافة من محور الخمول حتى الطرف الأقصى للألياف المشدودة في المقطع غير المتشقّق
الكود العربي السوري، البند (10-5-4)، الصفحة ٢٨٩: عزم التشقق «أقل عزم انعطاف يُسبّب التشقق في الخرسانة». ومقاومة الشدّ في الانحناء = ٠٫٧ × جذر المقاومة المميّزة، وهي «إجهاد الشدّ الأقصى للخرسانة عند الانعطاف». وبعد الليف المشدود: المسافة من «محور الخمول» حتى أبعد ليف مشدود «في المقطع غير المتشقّق». والسطر بين الإطارين للنظام المتري القديم بالكيلوغرام، لا نستعمله. الصفحة كاملة
من الكود: آي جي = عزم القصور الذاتي لكامل المقطع الخرساني حول محور الخمول، غير المتشقّق، مع إهمال فولاذ التسليح
الكود العربي السوري، الصفحة ٢٨٩: عزم القصور للمقطع كله هو «عزم القصور الذاتي لكامل المقطع الخرساني حول محور الخمول، (غير المتشقّق)، مع إهمال فولاذ التسليح». هو عزم القصور الذي حسبناه اليوم بالضبط. و«محور الخمول» اسم آخر في الكود للمحور السليم. الصفحة كاملة
عزم التشقق

أقل عزم انعطاف يبدأ عنده الشقّ في الخرسانة: حين يبلغ الشدّ في أبعد ليف مشدود مقاومة الخرسانة للشدّ في الانحناء.

تعمّق من علاقتنا إلى علاقة الكود نحو ٢٠ ثانية

علاقة الكود هي علاقتنا نفسها، مقلوبة: أي عزم يجعل إجهاد الليف الأسفل يبلغ مقاومة الشدّ في الانحناء؟

علاقتنا: الإجهاد في ليف.

σ = M · y / I

الليف الذي نسأل عنه: أبعد ليف مشدود. والإجهاد الذي نسأل عنه: مقاومة الشدّ في الانحناء.

fcb = Mcr · yt / Ig

نضرب الطرفين في عزم القصور، ونقسمهما على البعد.

Mcr = fcb · Ig / yt

عزم التشقق في الكود، ومقاومة الخرسانة للشدّ في الانحناء

Mcr = fcb · Ig / yt
fcb = 0.7 √f′c
في الكود

تُقرأ: إم سي آر تساوي إف سي بي ضرب آي جي على واي تي. وإف سي بي تساوي صفر فاصلة سبعة جذر إف سي شرطة

تعمّق الرموز والوحدات نحو ٢٥ ثانية

معاني الرموزMcr، fcb، Ig، yt، …(٥)
Mcrعزم التشقق: أقل عزم يبدأ عنده الشقّإم سي آر fcbمقاومة الخرسانة للشدّ في الانحناء، بالميغاباسكالإف سي بي Igعزم القصور للمقطع الخرساني كله، غير المتشقّق، بلا فولاذآي جي ytبعد أبعد ليف مشدود عن المحور السليمواي تي f′cالمقاومة المميّزة على الضغط: ٢٠ ميغاباسكال لخرسانتناإف سي شرطة

عزم التشقق = مقاومة الشدّ في الانحناء × عزم القصور ÷ بعد الليف المشدود الأبعد.

تعمّق عزم التشقق بالأرقام نحو ٤٥ ثانية

سطر من جدول الرموز في الكود: مقاومة الخرسانة للشد في الانحناء، رمزها إف سي بي، وبالإنجليزية مودولس أوف رابتشر
الكود العربي السوري، الرموز (3-2-2)، الصفحة ٣٥: «مقاومة الخرسانة للشدّ في الانحناء»، ورمزها fcb. الصفحة كاملة
الخطوةالقيمةالوحدة
المقاومة المميّزة على الضغط٢٠ميغاباسكال
جذرها التربيعي؟—
مقاومة الشدّ في الانحناء = ٠٫٧ × الجذر؟ميغاباسكال
عزم القصور للمقطع كله٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ملم⁴
بعد الليف الأسفل عن المحور السليم (درس مركز المقطع)٧٠ملم
عزم التشقق = المقاومة × عزم القصور ÷ البعد؟نيوتن·ملم
عزم التشقق ÷ مليون؟كيلونيوتن·م
fcb = 0.7 × √20 = 0.7 × 4.4721
= 3.13 MPa
Mcr = 3.1305 × 228 666 667 / 70
= 10 226 000 N·mm = 10.23 kN·m
في الكود

لماذا مقاومة الشدّ في الانحناء (٣٫١٣) أكبر من مقاومة الشدّ المباشر (٢٫٠)؟ أحد الأسباب: في الانعطاف أكبر شدّ في الليف الأسفل وحده، والألياف فوقه أقل شدًّا فتسنده.

عزم التشقق ١٠٫٢٣، وعزم شريحتنا في المنتصف ٢٠. أي جزء من الشريحة يتشقّق؟

الحمل: ٠ كيلونيوتن لكل مترعزم التشقق: ١٠٫٢٣العزم في المنتصف ٠

المخطّط تحت المحور، جهة الشدّ.

تعمّق أين يبدأ الشقّ بالضبط؟ نحو ٢٥ ثانية

افحص الحدّ بعلاقة العزم من المحطة السادسة، عند ٠٫٦٠ م من المسند:

M(0.60) = 20 × 0.60 − 10 × 0.60² / 2
= 12 − 1.8 = 10.2 ≈ Mcr

وبالتناظر: ٤ − ٠٫٦٠ = ٣٫٤٠ م. المنطقة المتشقّقة من ٠٫٦٠ إلى ٣٫٤٠ م: أكثر من ثلثي المجاز.

شقوق شعرية دقيقة، طبيعية في الخرسانة المسلّحة: عندها يحمل الفولاذ في الأسفل الشدّ.

بعد التشقق يعمل المقطع بطريقة أخرى، فلا يبقى عزم القصور كله فعّالًا. وعلى الصفحة نفسها علاقة الكود لذلك؛ نتعلّمها في محطة الاستثمار.

عزم التشقق لشريحتنا ١٠٫٢٣ كيلونيوتن·م، أصغر من ٢٠. فوسط الشريحة متشقّق، من ٠٫٦٠ إلى ٣٫٤٠ م، وهناك يحمل الفولاذ الشدّ.

في الكود

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

لو كان العزم في منتصف شريحتنا ٨ كيلونيوتن·م فقط، هل تتشقّق؟

تعمّق خطأ شائع نحو ٥ ثانية

خطأ شائع

خطأ: البعد من الوجه الآخر: ١٤٠.

صحيح: من المحور السليم إلى أبعد ليف مشدود: ٧٠.

اختبر المرحلة ٥

في علاقة الكود لعزم التشقق نقسم على:

تعمّق سؤال آخر نحو ٢٠ ثانية

عزم التشقق ١٠٫٢٣، وعزم المنتصف ٢٠. أين لا شقوق؟

المرحلة ٦ من ٦في العمل، ثم اختبر نفسك

باليد = إكسل = إيتابس، وخمسة أسئلة.

نحو ٥٫٥ دقيقة
✓باليد✓إكسل✓إيتابسالرقم نفسه في الثلاث

تعمّق تذكّر سريع من المرحلة السابقة نحو ٢٠ ثانية

في بيئة العمل

زميل سَنَد في مكتب التصميم أدخل شريحتنا في برنامج إيتابس، بمقطع اسمه (STRIP1000x140) = شريحة ١٠٠٠ × ١٤٠.

البرنامج يحسب خصائص المقطع بنفسه، ويكتب عزم القصور بالمتر أس أربعة:

ETABS: A = 0.14 m²
I33 = 2.2867 × 10−4 m⁴

(I33) = عزم القصور حول المحور ٣ للمقطع في البرنامج: المحور الأفقي الذي تنعطف حوله شريحتنا تحت الحمل.

تعمّق الرموز والوحدات نحو ٢٥ ثانية

الوحداتمن م⁴ إلى ملم⁴
من م⁴ إلى ملم⁴

المتر ألف ملّيمتر. وفي الأس أربعة نضرب الألف في نفسه أربع مرات: واحد وبعده اثنا عشر صفرًا.

1 m = 103 mm
1 m⁴ = 103 × 103 × 103 × 103
= 1012 mm⁴

والأس السالب يعني: اقسم. وحين نضرب نجمع الأسس: سالب أربعة زائد اثني عشر = ثمانية.

2.2867 × 10−4 m⁴ × 1012
= 2.2867 × 108 mm⁴
باليد: ١٠٠٠ × ١٤٠ × ١٤٠ × ١٤٠ ÷ ١٢٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ ملم⁴✓إكسل: صفّ السماكة ١٤٠٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ ملم⁴✓إيتابس: عزم القصور حول المحور ٣I33 = 2.2867E-04 m⁴= 2.2867 × 10⁸ mm⁴✓

البرنامج يكتب خمسة أرقام فقط، فيقرّب الباقي.

عمل المهندس أن يعرف معنى رقم البرنامج، ويفحصه في ثوانٍ: العرض × السماكة تكعيب ÷ ١٢.

تعمّق هل تعلم؟ وما أضافه الدرس نحو ٣٥ ثانية

وترى الشريحة نفسها في البرنامج في درس برنامج إيتابس: قراءة المخطّطات.

هل تعلم؟

الجوائز الفولاذية تُصنع غالبًا على شكل حرف I: أكثر الفولاذ في الشفتين، فوق وتحت، بعيدًا عن المحور السليم حيث يعدّ أكثر، وفي الوسط صفيحة رقيقة.

وعظام الساق والذراع أنابيب مجوّفة، لا أعمدة مصمتة: المادة بعيدة عن الوسط، فتقاوم الانحناء بوزن أقل.

أضاف هذا الدرس: عزم القصور ٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ ملم⁴ = ٠٫٠٠٠٢٢٨٦٧ م⁴ (إيتابس: الرقم نفسه)؛ الإجهاد ٣٫٠٦ على بعد ٣٥ ملم؛ معاير القطاع ٣٬٢٦٦٬٦٦٧ ملم³؛ مقاومة الشدّ في الانحناء ٣٫١٣ ميغاباسكال؛ عزم التشقق ١٠٫٢٣ كيلونيوتن·م؛ والمنطقة المتشقّقة من ٠٫٦٠ إلى ٣٫٤٠ م. وورقة عزم القصور في ملف المحطة السابعة.

تعمّق جدول الرموز نحو ٤٠ ثانية

الرموز

الرموز والوحداتσ، M، y، I، b، h، …(١٣)
الرمزالمعنىتُقرأ
σالإجهاد في ليف (ميغاباسكال)سيغما
Mعزم الانعطاف (كيلونيوتن·م، أو نيوتن·ملم في الحساب)إم
yبعد الليف عن المحور السليم (ملم)واي
Iعزم القصور الذاتي (ملم⁴)آي
bعرض المقطع (ملم)بي
hسماكة المقطع (ملم)إتش
Σ A·y²مجموع (مساحة كل طبقة × مربّع بعدها)مجموع إيه واي تربيع
Zمعاير القطاع = عزم القصور ÷ بعد الليف الأبعد (ملم³)زد الكبيرة
Mcrعزم التشقق (كيلونيوتن·م)إم سي آر
fcbمقاومة الخرسانة للشدّ في الانحناء (ميغاباسكال)إف سي بي
Igعزم القصور للمقطع الخرساني كله، غير المتشقّقآي جي
ytبعد أبعد ليف مشدود عن المحور السليم (ملم)واي تي
mm⁴ملّيمتر أس أربعة: وحدة عزم القصورملّيمتر أس أربعة

تعمّق صفحات الكود كلها نحو ٣٠ ثانية

مراجع الدرس

صفحات الكود في هذا الدرس: ٥ صفحات. اسحب يمينًا ويسارًا، واضغط الصفحة لتكبّرها.

من الكود العربي السوري، الرموز (3-2)، الصفحة ٣٤: عزم العطالة (القصور الذاتي)
الرموز (3-2)الصفحة ٣٤عزم العطالة (القصور الذاتي)منه: اسم عزم القصور ورمزهالصفحة كاملة
من الكود العربي السوري، الرموز (3-2)، الصفحة ٣٥: معاير القطاع (المقطع)
الرموز (3-2)الصفحة ٣٥معاير القطاع (المقطع)منه: اسم معاير القطاع ورمزهالصفحة كاملة
من الكود العربي السوري، البند (10-5-4)، الصفحة ٢٨٩: عزم التشقق
البند (10-5-4)الصفحة ٢٨٩عزم التشققمنه: علاقة عزم التشقق، ومقاومة الشدّ في الانحناء ٠٫٧ × جذر المقاومة، وبعد الليف المشدودالصفحة كاملة
من الكود العربي السوري، البند (10-5-4)، الصفحة ٢٨٩: عزم القصور للمقطع كله
البند (10-5-4)الصفحة ٢٨٩عزم القصور للمقطع كلهمنه: المقطع الخرساني كله حول محور الخمول، غير متشقّق، بلا فولاذالصفحة كاملة
من الكود العربي السوري، الرموز (3-2-2)، الصفحة ٣٥: مقاومة الخرسانة للشدّ في الانحناء
الرموز (3-2-2)الصفحة ٣٥مقاومة الخرسانة للشدّ في الانحناءمنه: اسم المقاومة ورمزهاالصفحة كاملة

تحقّق من فهمك

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

١. لوح ١٠٠ × ٢٠ ملم. كم مرة يكبر عزم قصوره حين نقيمه على جنبه؟

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

٢. صارت سماكة الشريحة ثلاثة أضعاف، ٤٢٠ ملم، والعرض كما هو. عزم القصور يصير:

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

٣. كتب زميلك: «عزم القصور = العرض × السماكة × السماكة ÷ ١٢». ما الخطأ؟

تعمّق سؤال صغير نحو ٢٠ ثانية

٤. لو كانت شريحتنا ٢٠٠ ملم سماكة، والعزم ٢٠ كما هو: هل تتشقّق حسب الكود؟

٥. برنامج كتب عزم القصور ٠٫٠٠٠٢٢٨٦٧ م⁴. كم هو بالملّيمتر أس أربعة؟

تعمّق احفظ ثلاثة أسطر نحو ٢٥ ثانية

احفظ ثلاثة أسطر

  1. الإجهاد في أي ليف = العزم × بعده عن المحور السليم ÷ عزم القصور. ولمقطع مستطيل: عزم القصور = العرض × السماكة تكعيب ÷ ١٢، بالملّيمتر أس أربعة.
  2. عزم القصور = مجموع (مساحة كل طبقة × مربّع بعدها): الطبقات البعيدة تعدّ أكثر. ضاعِف العمق: عزم القصور × ٨، والإجهاد ÷ ٤.
  3. شريحتنا: ٢٢٨٬٦٦٦٬٦٦٧ ملم⁴، كما في إيتابس. عزم التشقق في الكود ١٠٫٢٣ كيلونيوتن·م في الكود، أصغر من ٢٠: وسطها من ٠٫٦٠ إلى ٣٫٤٠ م متشقّق، والفولاذ يحمل الشدّ.

ما تحمله معك

  1. الإجهاد في أي ليف:
    σ = M · y / I
  2. مقطع مستطيل، بالملّيمتر أس أربعة:
    I = b · h³ / 12
  3. ضاعِف العمق: عزم القصور × ٨، والإجهاد ÷ ٤.
  4. شريحتنا: عزم التشقق ١٠٫٢٣ أصغر من ٢٠، فوسطها متشقّق. في الكود

تعمّق خطأ شائع نحو ٥ ثانية

خطأ شائع

خطأ: من م⁴ إلى ملم⁴: × ألف.

صحيح: × ألف أربع مرات: ١٠ أس ١٢.